Как измерить окружность Земли?

Как измерить окружность Земли?

У меня периодически появляется ощущение что многие простые вещи специально излагаются так, чтобы читатель ничего не понимал и тупо заучивал, либо прочувствовал свою ничтожность перед изощренностью науки. Это всецело относится к известному по школьным учебникам феерическому способу Эратосфена измерения окружности земного шара. Может быть он на самом деле вычислял таким извращенским способом, но зачем этот бред тиражировать со школы?

О том, как можно запудрить мозги в простом вопросе, посмотрим на примере вычисления длины окружности Земли в морских милях, который является частным случаем измерения широты местности и длины пройденного пути по меридиану.

Если современному человеку дать задачу вычислить длину окружности Земли в морских милях, он в подавляющем большинстве случаев заглянет в интернет/справочники и решит примерно так: длину окружности Земли например по парижскому меридиану 40.000 км с помощью калькулятора разделит на современную морскую милю 1,852 км и получит 21.598,3 морских миль, что будет близко к действительности.

Теперь покажу как вычислить длину окружности Земли в уме и абсолютно точно. Для этого надо знать только одно: «Морская миля — единица измерения расстояния, применяемая в мореплавании и авиации. Первоначально морская миля определялась как длина дуги большого круга на поверхности земного шара размером в одну угловую минуту.»

В одном угловом градусе 60 минут, в окружности - 360 градусов, то есть в окружности 360х60=21.600 угловых минут, что в данном случае соответствует длине окружности земного шара в 21.600 морских миль. И это - абсолютно точно, поскольку длина окружности земного шара по меридиану является эталоном, а угловая минута-миля - производная единица. Поскольку Земля - не идеальный сфероид, а слегка кривоватый, то мили на разных меридианах будут немного отличаться друг от друга, но это совершенно неважно для навигации, ибо угловая минута - она и в Африке угловая минута.

Широту местности с точностью до градусов вполне можно измерить даже примитивными приспособлениями вроде транспортира с отвесом, который не сильно отличается от реально применявшегося моряками квадранта и по существу то же самое что и астролябия:

Для более точных измерений углов впоследствии был изобретен секстант (мор. арго - секстан):

Современные люди слабо представляют себе что такое аналоговые вычислительные машины и как ими пользоваться. Для того, чтобы вычислить расстояние между двумя точками в меридиональном направлении, надо всего лишь измерить широты точек, а разность широт выраженная в угловых минутах и будет расстоянием между ними в морских милях. Все просто, удобно и практически применимо.

Если уж так сильно хочется выяснить сколько в морской миле стадий, саженей, аршинов или там египетских локтей, надо аккуратно на коленках промерить ими расстояние между точками с известным расстоянием в морских милях-угловых минутах. Но зачем? Как это практически применимо?

Эратосфен будто бы измерял углы с точностью до угловых секунд и разница широт Александрии составила у него 7° 6,7', то есть 7х60=420+6,7=426,7 морских миль (угловых минут). Кажется, что еще надо? Но ему почему-то требуются дни пути верблюдов и стадии. Возникает ощущение чего-то надуманного - фейка или розыгрыша.

Метод Эратосфена согласно В. А. Бронштейн, Клавдий Птолемей, Гл.12. Работы Птолемея в области географии:

«Как известно, метод Эратосфена заключался в определении дуги меридиана между Александрией и Сиеной в день летнего солнцестояния. В этот день, по рассказам лиц, посещавших Сиену, Солнце в полдень освещало дно самых глубоких колодцев и, значит, проходило через зенит. Следовательно, широта Сиены равнялась углу наклона эклиптики к экватору, который Эратосфен определил в 23°51'20". В тот же день и час в Александрии тень от вертикального столбика гномона закрывала 1/50 часть окружности, центром которой служил кончик гномона. Это значит, что Солнце отстояло в полдень от зенита на 1/50 часть окружности, или на 7° 12'. Приняв расстояние между Александрией и Сиеной равным 5000 стадиев, Эратосфен нашел, что окружность земного шара равна 250 000 стадиев. Вопрос о точной длине стадия, принятого Эратосфеном, долгое время служил предметом дискуссий, поскольку существовали стадии длиной от 148 до 210 м <60>. Большинство исследователей принимали длину стадия 157,5 м («египетский» стадий). Тогда окружность Земли равна, по Эратосфену, 250 000-0,1575 = 39 375 км, что очень близко к действительному значению 40 008 км. Если же Эратосфен пользовался греческим («олимпийским») стадием длиной 185,2 м, то получалась окружность Земли уже 46 300 км.

По современным измерениям <97> широта Музея в Александрии 31°11,7' широта Асуана (Сиены) 24° 5,0', разница широт 7° 6,7', чему соответствует расстояние между этими городами 788 км. Деля это расстояние на 5000, получим длину стадия, использованного Эратосфеном, 157,6 м. Значит ли это, что он использовал египетский стадий?

Этот вопрос сложнее, чем может показаться. Уже одно то, что Эратосфен привел явно округленное число — 5000 стадиев (а, скажем, не 5150 или 4890) не внушает к нему доверия. А если оценка Эратосфена была завышена хотя бы на 15%, получим, что он использовал египетский стадий в 185 м. Решить этот вопрос пока нельзя.»

Теперь обратим внимание на следующие обстоятельства:

- Асуан (Сиена) и Александрия не находятся на одном меридиане, разница по долготе составляет 3°, то есть около 300 километров.

- Эратосфен не измерил расстояние, а принял исходя из дней пути верблюдов, которые ходили явно не по прямой линии.

- Совершенно неясно каким прибором Эратосфен измерял углы с точностью до секунд

- Непонятно какой стадий использован Эратосфеном для измерения расстояний и т. п.

Но при этом он будто бы получил достаточно точный результат! Или историками сделана подгонка под результат?

Из Википедии: «Эратосфен говорит, что Сиена и Александрия лежат на одном меридиане. И поскольку меридианы в космосе являются большими кругами, такими же большими кругами обязательно будут и меридианы на Земле. И поскольку таков солнечный круг между Сиеной и Александрией, то и путь между ними на Земле с необходимостью идёт по большому кругу. Теперь он говорит, что Сиена лежит на круге летнего тропика. И если бы летнее солнцестояние в созвездии Рака происходило ровно в полдень, то солнечные часы в этот момент времени с необходимостью не отбрасывали бы тени, поскольку Солнце находилось бы точно в зените; дела и в самом деле обстоят таким образом в [полосе шириной] в 300 стадиев. А в Александрии в этот же час солнечные часы отбрасывают тень, поскольку этот город лежит к югу от Сиены. Эти города лежат на одном меридиане и на большом круге. На солнечных часах в Александрии проведём дугу, проходящую через конец тени гномона и основание гномона, и этот отрезок дуги произведёт большой круг на чаше, поскольку чаша солнечных часов расположена на большом круге. Далее, вообразим две прямые, опускающиеся под Землю от каждого гномона и встречающиеся в центре Земли. Солнечные часы в Сиене находятся отвесно под Солнцем, и воображаемая прямая проходит от Солнца через вершину гномона солнечных часов, производя одну прямую от Солнца до центра Земли. Вообразим ещё одну прямую, проведённую от конца тени гномона через вершину гномона к Солнцу на чаше в Александрии; и она будет параллельна уже названной прямой, поскольку уже сказано, что прямые от разных частей Солнца к разным частям Земли параллельны (а это он откуда знает?). Прямая, проведённая от центра Земли к гномону в Александрии, образует с этими параллельными равные накрестлежащие углы. Один из них — с вершиной в центре Земли, при встрече прямых, проведённых от солнечных часов к центру Земли, а другой — с вершиной на конце гномона в Александрии, при встрече с прямой, идущей от этого конца к концу его же тени от Солнца, там где эти прямые встречаются наверху. Первый угол опирается на дугу от конца тени гномона до его основания, а второй — на дугу с центром в центре Земли, проведённую от Сиены до Александрии. Эти дуги подобны между собой, поскольку на них опираются равные углы. И какое отношение имеет дуга на чаше к своему кругу, такое же отношение имеет и дуга от Сиены до Александрии [к своему кругу]. Но найдено, что на чаше она составляет пятидесятую часть своего круга. Поэтому и расстояние от Сиены до Александрии с необходимостью будет составлять пятидесятую часть большого круга Земли. Но оно равно 5 000 стадиев. Поэтому весь круг будет равен 250 000 стадиям. Таков метод Эратосфена».

Позднее полученное Эратосфеном число было увеличено до 252 000 стадиев. Определить, насколько эти оценки близки к реальности, трудно, поскольку неизвестно, каким именно стадием пользовался Эратосфен. Но если предположить что речь идёт о греческом (178 метров), то его радиус земли равнялся 7 082 км, если египетским (157,5), то 6 287 км. Современные измерения дают для усреднённого радиуса Земли величину 6 371 км, что делает вышеописанный расчёт выдающимся достижением и первым достаточно точным расчётом размеров нашей планеты.»

Обращаю внимание на то, что в Википедии кроме подгонки результатов также сначала говорится об измерении Эратосфеном длины окружности Земли, а в итоге делается вывод о точности вычисления радиуса Земли. В общем, в огороде бузина, а в Киеве - дядька, хоть они и взаимосвязаны.

Диагноз очень простой: в учебниках по-прежнему будут тиражировать не дающий ничего для понимания сущности и практической применимости метод Эратосфена, но ни словом не будут упоминать связку «морская миля - угловая минута» как пример пропорционального мышления древних, потому что современный тренд заточен под дискретные вычислительные машины, а об аналоговых вычислительных машинах древности приходится рассказывать заново.

Исторический контекст и разрушение мифов

Существует расхожее заблуждение, будто Христофор Колумб отправился в плавание, чтобы доказать шарообразность Земли. На самом деле, образованные люди, моряки и ученые знали о форме нашей планеты задолго до эпохи Великих географических открытий. Истинным пионером в измерении земного шара стал Эратосфен, живший в третьем веке до нашей эры. Будучи главным библиотекарем Александрийской библиотеки, он совершил открытие, не покидая Египта, опираясь исключительно на наблюдение и геометрию.




История гласит, что Эратосфен узнал об уникальном явлении в городе Сиена (современный Асуан). В день летнего солнцестояния, ровно в полдень, солнце там находилось прямо над головой. Это подтверждалось тем фактом, что вертикальные предметы не отбрасывали тени, а солнечные лучи освещали дно самых глубоких колодцев. Заинтригованный библиотекарь решил проверить, происходит ли то же самое в Александрии, расположенной севернее.

В тот же день и час Эратосфен установил вертикальный стержень в Александрии и обнаружил, что тень все-таки есть. Она составляла примерно одну восьмую длины стержня, что соответствовало углу в 7,2 градуса или одной пятидесятой части круга. Зная расстояние между городами, которое караваны проходили за определенное время — около 5000 стадиев (примерно 850 километров), — он применил простую пропорцию. Если 7,2 градуса соответствуют 850 километрам, то полная окружность Земли (360 градусов) должна составлять около 40 000 километров. Его расчеты дали радиус примерно в 6800 километров, что удивительно близко к современному значению в 6300 километров.

Астрономическая механика процесса

В основе этого метода лежат незыблемые принципы небесной механики. Земная ось наклонена под углом 23,5 градуса, что и создает смену времен года и изменение длины теней. Ключевым моментом для проведения подобных экспериментов является истинный солнечный полдень. Это мгновение, когда светило достигает наивысшей точки на небосводе, находясь ровно посередине между восходом и закатом.




Часто люди путают солнечный полдень с 12:00 на часах, но из-за декретного времени, летних сдвигов и широты конкретного места эти моменты редко совпадают. Именно в истинный полдень тень становится самой короткой за день и указывает строго на север (для наблюдателей в Северном полушарии), выравниваясь по линии меридиана. Если наблюдать за тенью в течение дня, можно заметить, что в Северном полушарии она движется по часовой стрелке. За полярными кругами поведение теней меняется еще более радикально.

Особое значение имеют дни равноденствия — весеннего (около 20 марта) и осеннего (около 22-23 сентября). В эти даты Солнце находится в зените над экватором, его склонение равно нулю, а лучи падают перпендикулярно оси вращения Земли. Именно в равноденствие угол падения солнечных лучей в полдень (и, соответственно, угол, образуемый тенью) равен широте местности, где находится наблюдатель. Это делает дни равноденствия идеальным временем для любительских астрономических вычислений.

Математический аппарат и формулы

Для тех, кто хочет повторить опыт Эратосфена, не требуется сложного оборудования, но нужно понимание тригонометрии. Основная формула опирается на функцию тангенса. Если представить шест и его тень как катеты прямоугольного треугольника, то тангенс угла падения лучей равен отношению длины тени (противолежащий катет) к высоте шеста (прилежащий катет). Чтобы найти сам угол, который соответствует широте местности в день равноденствия, нужно вычислить арктангенс этого отношения.




Для вычисления окружности Земли используется пропорция: измеренный угол относится к 360 градусам так же, как расстояние от точки наблюдения до экватора относится к полной окружности планеты. Существует и метод двух городов, когда измерения проводятся синхронно в двух точках на одной долготе. Разница углов в этих точках позволяет вычислить радиус Земли, разделив расстояние между городами на разницу углов, выраженную в радианах.

Современные данные уточняют античные расчеты. Окружность Земли через полюса составляет 40 009 километров, тогда как по экватору она немного больше — 40 076,5 километров. Эта разница возникает из-за вращения планеты и центробежной силы, которая немного «сплющивает» Землю, создавая экваториальное утолщение. Жидкое ядро также играет роль в этой деформации.

Подготовка и проведение эксперимента

Выбор времени и меры безопасности

Оптимальные даты для проведения эксперимента — дни весеннего или осеннего равноденствия. Например, если осеннее равноденствие приходится на 23 сентября, наблюдения можно проводить и 24-го, погрешность будет минимальной. Критически важно помнить о технике безопасности: никогда нельзя смотреть прямо на Солнце, даже в темных очках, так как это чревато необратимым повреждением сетчатки. Вся работа ведется только с тенями.

Необходимые материалы

Главный инструмент исследователя — гномон. Этим древним термином называют любой вертикальный предмет, отбрасывающий тень. Это может быть специальная лабораторная стойка, обычная палка, приклеенная скотчем к коробке, или даже вантуз (да, обычный вантуз отлично стоит на асфальте). Понадобятся измерительная рулетка, транспортир, прочная нить и уровень. Строительный уровень или самодельный отвес (камень на веревке) необходимы, чтобы убедиться в строгой вертикальности гномона. Ошибка в наклоне палки даже на пару градусов испортит все вычисления. Для ориентирования пригодится компас, но нужно учитывать магнитное склонение.

Методика измерений

Самый простой способ — метод палки. Гномон устанавливается на ровной горизонтальной поверхности. В момент истинного полдня (когда тень минимальна) измеряется длина тени. Например, если высота вантуза 59 см, а длина тени 57 см, вычисления покажут угол около 44 градусов.

Другой вариант — использование нити и транспортира. Нить крепится к вершине шеста и натягивается до кончика тени, образуя гипотенузу. Угол между вертикальным шестом и натянутой нитью измеряется транспортиром напрямую. Существует также метод «теневых дорожек», когда положение конца тени отмечается каждые 10-15 минут. Соединив точки плавной линией, можно найти самую короткую дистанцию до основания шеста, что и будет моментом истинного полдня, а также точно определить направление север-юг.

Если под рукой нет инструментов, можно воспользоваться методом «картошки». Вытянув руку, человек ставит кулаки друг на друга, считая от горизонта до солнца. Каждый кулак («одна картошка, две картошки») примерно соответствует 10 градусам. Это грубый метод, но он дает общее представление о высоте светила.

Реальные примеры и кейс-стади

Геометрия теней работает не только на Земле. В январе 2004 года марсоходы NASA "Spirit" и "Opportunity" использовали солнечные часы, установленные на борту, для калибровки панорамных камер Pancam. Принципы, открытые греками, пригодились роботам на Красной планете.




Интересен опыт сравнения данных между Ванкувером и Уистлером во время весеннего равноденствия. В Ванкувере (широта около 49,2°) тень от газетного ящика дала угол 48,8°. В Уистлере (широта 50,1°), расположенном в 120 км севернее, замеры показали иную картину. Сопоставив данные двух городов, энтузиасты вычислили радиус Земли, получив разброс значений от 4300 до 6900 км, что для любительского эксперимента является неплохим результатом, попадающим в реальный диапазон.

Другой пример из Монреаля (широта 45,5°). В день равноденствия 21 сентября 2022 года наблюдатель использовал 59-сантиметровый шток. Тень оказалась длиной 57 см. Расчетный угол составил 44,012°. Зная, что один градус широты — это примерно 111,111 км, можно вычислить расстояние до экватора (около 5062 км) и полную окружность планеты — 41 405 км. Погрешность составила всего около 3% от эталонного значения. Такие проекты часто проводятся школами, например, в Иллинойсе ученики регулярно фиксируют, что из-за летнего времени солнечный полдень наступает между 12:30 и 13:30.

Образовательные расширения

Проект можно масштабировать. В классах создают визуальные стенды, где цветными нитями соединяют вершину нарисованного шеста с отметками длины тени, полученными от школ-партнеров из других широт. Существуют проекты "Shadow Tracks" (Теневые дорожки), которые делятся на уровни сложности: быстрые замеры около полдня или длительные наблюдения в течение всего дня для построения кривой. Самый продвинутый уровень — построение аналеммы, фигуры в форме восьмерки, которая получается, если отмечать положение солнца в одно и то же время на протяжении целого года.




Энтузиасты используют программы вроде Matlab для точной обработки данных, а также специальные бумажные мишени ("Sun Targets"), адаптированные для разных широтных зон — от экватора до полярных областей. Во время наблюдений полезно фиксировать и сопутствующие факторы: температуру воздуха, облачность, поведение животных. Часто замечают, что птицы затихают или меняют активность в моменты необычного освещения, хотя это больше характерно для затмений.

Идея подобных массовых измерений поддерживается энтузиастами, такими как доктор Майкл Лейден из Восточного Иллинойского университета и Тим Макколлум из Чарльстона, которые годами курируют проекты по измерению полуденной тени. Техническую поддержку оказывают специалисты вроде Марка Дрона, а разработка учебных материалов, таких как солнечные мишени, — заслуга Ширли и Дэвида Адамс.

Влияние погодных условий и безопасность

Погода диктует свои правила при проведении полевых работ. Зимой, несмотря на ясное небо, существует риск переохлаждения. Наблюдатели должны одеваться слоями, так как воздух между одеждой сохраняет тепло лучше, чем один толстый свитер. Варежки предпочтительнее перчаток, так как пальцы греют друг друга. Необходимо закрывать рот шарфом и делать перерывы в теплом помещении, чтобы избежать обморожения и гипотермии.




Летом опасности иные. Длительное пребывание на солнцепеке ради поимки момента истинного полдня грозит тепловым ударом и солнечными ожогами. Рекомендуется носить свободную светлую одежду, широкополые шляпы и использовать солнцезащитный крем. Критически важна гидратация: пить воду нужно еще до появления чувства жажды, избегая напитков с кофеином. В жару не стоит употреблять солевые таблетки без назначения врача или высокобелковую пищу, которая усиливает выработку метаболического тепла. Даже пара часов в кондиционируемом помещении после эксперимента помогут организму восстановиться.